Mathématiquement, un ensemble est une collection ou une liste d’objets. Les ensembles ne sont pas seulement composés de chiffres, mais peuvent contenir n’importe quoi, y compris les aliments dans votre réfrigérateur, les planètes du système solaire ou les navires nommés Entreprise.
Contenu
Exemples d’ensembles
Même si les ensembles peuvent contenir n’importe quoi, les ensembles font souvent référence à des chiffres qui correspondent à un modèle ou sont liés d’une manière ou d’une autre, comme par exemple :
- L’ensemble des nombres pairs positifs inférieurs à 10, par exemple, est 0, 2, 4, 6, 8
- L’ensemble des les facteurs pour le chiffre 12, par exemple, sont 1, 2, 3, 4, 6, 12
- L’ensemble des nombres premiers inférieurs à 50, par exemple, est 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Notation fixe
Les objets d’un ensemble sont appelés des éléments, et les ensembles utilisent la notation suivante ou des conventions :
- Les lettres majuscules simples telles que J, E, ou F identifier les ensembles
- Les lettres minuscules ou les chiffres sont des éléments d’un ensemble
- Les accolades { } désignent une liste d’éléments dans un ensemble
- Les virgules séparent les éléments de l’ensemble
Ainsi, des exemples de notation de l’ensemble seraient :
- J = {jupiter, saturn, uranus, neptune}
- E = {0, 2, 4, 6, 8}
- F = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Ordre des éléments et répétition
Les éléments d’un ensemble n’ont pas à être dans un ordre particulier, vous pouvez donc aussi écrire l’ensemble J ci-dessus comme :
J = {saturn, jupiter, neptune, uranus}
ou
J = {neptune, jupiter, uranus, saturn}
La répétition des éléments ne change pas non plus l’ensemble, donc :
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune}
et
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune, jupiter, saturn}
sont le même ensemble car ils ne contiennent que quatre éléments différents : Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune.
Sets et ellipses
Si un ensemble contient un nombre infini d’éléments, une ellipse (…) exprime que le motif de l’ensemble continue à jamais dans cette direction.
Par exemple, la série de nombres entiers commence à zéro mais n’a pas de fin, vous pourriez donc l’écrire comme :
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Un autre ensemble spécial de nombres qui n’a pas de fin est l’ensemble des entiers. Cependant, comme les nombres entiers peuvent être positifs ou négatifs, l’ensemble utilise des ellipses aux deux extrémités pour montrer que l’ensemble continue indéfiniment dans les deux sens :
{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Une autre utilisation des ellipses est de remplir le milieu d’un grand ensemble. Vous pourriez écrire l’ensemble des nombres pairs entre 0 et 100 comme :
{0, 2, 4, 6, 8, …, 94, 96, 98, 100}
L’ellipse montre que le schéma – uniquement des nombres pairs – se poursuit dans la partie non écrite de l’ensemble.
Ensembles spéciaux
Les ensembles spéciaux qui sont fréquemment utilisés sont identifiés par des lettres ou des symboles spécifiques. Il s’agit notamment de
- Ø ou { } – l’ensemble vide – un ensemble ne contenant aucun élément
- U – l’ensemble universel – un ensemble contenant tous les éléments relatifs à une définition particulière de l’ensemble
- Z – l’ensemble de tous les entiers où Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
- N – nombres naturels (entiers positifs) où N = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Liste et méthodes descriptives
Rédiger ou énumérer les éléments d’un ensemble, tels que l’ensemble des planètes de notre système solaire, s’appelle la notation de liste ou la méthode de la liste.
T = {mercury, venus, earth, mars}
Une autre possibilité pour identifier les éléments d’un ensemble est d’utiliser la méthode descriptive, qui utilise une courte déclaration ou un nom pour décrire l’ensemble, comme par exemple
T = {the terrestrial planets}
Notation du constructeur
Une alternative à la liste et aux méthodes descriptives consiste à utiliser la notation du constructeur d’ensembles, qui est une méthode abrégée décrivant la règle que suivent les éléments de l’ensemble (la règle qui fait d’eux des membres d’un ensemble particulier).
La notation du constructeur pour l’ensemble des nombres naturels supérieurs à zéro est :
{x | x ∈ N, x > 0}
ou
{x : x ∈ N, x > 0}
Dans la notation du constructeur, la lettre « x » est un caractère de remplissage que vous pouvez remplacer par n’importe quelle autre lettre.
Caractères sténographiques
Les caractères sténographiques utilisés avec la notation du constructeur de décors comprennent
- La barre verticale ou le côlon (| ou : caractères) sont des séparateurs lus comme « tels que ».
- L’epsilon minuscule (∈ caractère) se lit comme suit : « est un élément de »
- Le ∉ le caractère est lu comme « non un élément de ».
Ainsi, vous pourriez lire {x | x ∈ N, x > 0} comme, « L’ensemble de tous les x, tel que x est un élément de l’ensemble des nombres naturels, et x est supérieur à 0 ».
Sets et diagrammes de Venn
Un diagramme de Venn (ou ensemble) montre les relations entre les éléments des différents ensembles. La section de chevauchement d’un diagramme de Venn montre l’intersection de deux ou plusieurs ensembles (éléments communs aux deux ensembles).
La notation du constructeur pour l’opération (le « U » inversé signifie « intersection ») est :
E ∩ F = { x | x ∈ E , x ∈ F }
La bordure rectangulaire et la lettre U dans le coin du diagramme de Venn ci-dessus représentent l’ensemble universel de tous les éléments pris en considération pour cette opération :
U = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
