La valeur des actifs financiers varie quotidiennement. Les investisseurs ont besoin d’un indicateur pour quantifier ces changements qui sont souvent difficiles à prévoir. L’offre et la demande sont les deux principaux facteurs qui influent sur l’évolution du prix des actifs. En retour, les mouvements de prix reflètent une amplitude de fluctuations, qui sont à l’origine de profits et de pertes proportionnels. Du point de vue d’un investisseur, l’incertitude qui entoure ces influences et fluctuations est appelée risque.
Le prix d’une option dépend de sa capacité sous-jacente à bouger, ou en d’autres termes de sa capacité à être volatile. Plus elle est susceptible d’évoluer, plus sa prime sera chère à l’approche de son échéance. Ainsi, le calcul de la volatilité d’un actif sous-jacent aide les investisseurs à fixer le prix des produits dérivés sur la base de cet actif.
Points clés à retenir
- La tarification des contrats d’options et autres produits dérivés implique directement de pouvoir calculer la volatilité d’un actif, ou la vitesse des fluctuations de prix.
- La volatilité est dérivée de la variance des mouvements de prix sur une base annualisée.
- Ce calcul peut être complexe et long, mais en utilisant Excel, le calcul de la volatilité historique d’un actif peut être effectué rapidement et avec précision.
Contenu
Mesurer la variation de l’actif
Une façon de mesurer la variation d’un actif est de quantifier les rendements quotidiens (pourcentage de variation sur une base quotidienne) de l’actif. Cela nous amène à la définition et au concept de volatilité historique. La volatilité historique est basée sur les prix historiques et représente le degré de variabilité des rendements d’un actif. Ce chiffre est sans unité et est exprimé en pourcentage.
Calculer la volatilité historique
Si nous appelons P
r
où Ln (x) = fonction logarithmique naturelle.
Le rendement total R au temps t est :
R = r1 + r2 + r3 + 2 + … +rt-1+ rt,
ce qui est équivalent à :
R = Ln (P1 / P0) + … Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)
Nous avons l’égalité suivante :
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a*b)
Alors, ça donne :
R = Ln [(P1 / P0* (P2 / P1)* … (Pt / Pt-1]
R = Ln [(P1. P2 … Pt-1. Pt) / (P0. P1. P2 … Pt-2. Pt-1)]
Et, après simplification, nous l’avons fait :
R = Ln (Pt / P0).
Le rendement est généralement calculé comme la différence de variation des prix relatifs. Cela signifie que si un actif a un prix de P
r = (P (t + t) -P
Lorsque le rendement est faible, comme quelques pour cent seulement, nous avons :
r ≈ Ln (1 + r)
On peut substituer r par le logarithme du prix courant depuis :
r ≈ Ln (1 + r)
r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P
r ≈ Ln (P (t + h) / P
À partir d’une série de prix de clôture par exemple, il suffit de prendre le logarithme du rapport de deux prix consécutifs pour calculer les rendements quotidiens r
Ainsi, on peut également calculer le rendement total R en utilisant uniquement les prix initial et final.
Volatilité annualisée
Pour apprécier pleinement les différentes volatilités sur une période d’un an, nous multiplions cette volatilité par un facteur qui tient compte de la variabilité des actifs sur un an.
Pour ce faire, nous utilisons la variance. La variance est le carré de l’écart par rapport aux rendements quotidiens moyens pour une journée.
Pour calculer le nombre carré des écarts par rapport aux rendements quotidiens moyens sur 365 jours, nous multiplions l’écart par le nombre de jours (365). L’écart-type annualisé est obtenu en prenant la racine carrée du résultat :
Variance = σ²daily = [Σ (r
Pour la variance annualisée, si nous supposons que l’année compte 365 jours, et que chaque jour présente la même variance quotidienne, σ²daily, nous obtenons :
Écart annualisé = 365. σ²daily
Écart annualisé = 365. [Σ (r
Enfin, comme la volatilité est définie comme la racine carrée de la variance :
Volatilité = √ (variance annualisée)
Volatilité = √ (365. Σ²daily)
Volatilité = √ (365 [Σ (r
Simulation
Les données
Nous simulons à partir de la fonction Excel =RANDBETTES un cours boursier qui varie quotidiennement entre des valeurs de 94 et 104.
Calcul des rendements quotidiens
- Dans la colonne E, nous inscrivons « Ln (P
Calcul de la place des rendements quotidiens
- Dans la colonne G, nous inscrivons « (Ln (P
Calcul de l’écart quotidien
Pour calculer la variance, on prend la somme des carrés obtenus et on la divise par le (nombre de jours -1). Ainsi :
- Dans la cellule F25, nous avons « = somme (F6 : F19) ».
- Dans la cellule F26, nous calculons « = F25 / 18 » puisque nous avons 19 -1 points de données pour ce calcul.
Calcul de l’écart-type quotidien
Pour calculer l’écart-type sur une base quotidienne, nous calculons la racine carrée de la variance quotidienne. Donc :
- Dans la cellule F28, nous calculons « = racine carrée (F26) ».
- Dans la cellule G29, la cellule F28 est indiquée en pourcentage.
Calcul de l’écart annualisé
Pour calculer la variance annualisée par rapport à la variance quotidienne, nous supposons que chaque jour a la même variance, et nous multiplions la variance quotidienne par 365 en incluant les week-ends. Donc :
- Dans la cellule F30, nous avons « = F26* 365. »
Calcul de l’écart type annualisé
Pour calculer l’écart-type annualisé, il suffit de calculer la racine carrée de la variance annualisée. Donc :
- Dans la cellule F32, nous avons « = RACINE (F30) ».
- Dans la cellule G33, la cellule F32 est indiquée en pourcentage.
Cette racine carrée de la variance annualisée nous donne la volatilité historique.
(Pour des lectures connexes, voir : « Ce que signifie réellement la volatilité. »)
